ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΤΑΞΗ ΜΕ GUNET

http://eclass.gunet.gr (ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ  GUNET))
Εδώ υπάρχει και η Ηλεκτρονική τάξη του ΚΣΕ του 3ου Γενικού Λυκείου Κορίνθου.
Επισκεφθείτε τον ανωτέρω ιστότοπο.
Κάνετε εγγραφή (γίνεται αμέσως για εκπαιδευόμενους και σε 3-4 μέρες για όσους θέλουν να φτιάξουν η-τάξη ως εκπαιδευτές-εκπαιδευτικοί)
Χωρίς εγγραφή μπορείτε να μπείτε στα μαθήματα "Τηλεκπαίδευση". Επιλέξτε από τη λίστα των  μαθημάτων αυτά που θέλετε να δείτε. Τα μαθήματα του ΚΣΕ 3ου ΓΕΛ Κορίνθου, όλα έχουν πρόθεμα smen. Πχ smengeogebra κλπ. Για να δείτε τα Μαθήματα του 3ου ΓΕΛ Κορίνθου, πρέπει να γνωρίζετε τον κωδικό που είναι: kse3lk
Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να οργανώσουν δική τους η-τάξη για τα τμήματα και τα μαθήματα που διδάσκουν, αρκεί να εγγραφούν ως εκπαιδευτές.
Είναι εύκολο. Δοκιμάστε το.

Fireworks Picture-1

Fireworks Picture-1


ΑΦΟΥ ΚΑΝΕΤΕ ΚΛΙΚ ΠΑΡΑΠΑΝΩ, ΣΥΡΕΤΕ ΤΟ "ΠΟΝΤΙΚΙ"  ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΠΟΥ ΘΑ ΕΜΦΑΝΙΣΤΕΙ.
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΠΕΜΠΕΙ SOS. ΑΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΘΟΥΜΕ !!!

1.  ΤΙΤΛΟΣ :

ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΠΕΜΠΕΙ SOS.

 ΑΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΘΟΥΜΕ !!!

2.  ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ :

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ:

ΜΕΝΕΞΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ:

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ:

ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ-ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

ΔΙΑΣΤΗΜΑ, ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ, ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ,

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Φ(Χ)=0 ΜΕ Φ συνεχής συνάρτηση.

3.        ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ:

   Η βασική ιδέα προήλθε από την διαπίστωση της αδυναμίας προσδιορισμού των ριζών εξίσωσης Φ(χ)=0 όταν η Φ δεν είναι πολυωνυμική αναλυόμενη σε πρωτοβάθμιους παράγοντες ή επιλύσιμη τριγωνομετρική.

Ένα μεγάλο πλήθος πραγματικών προβλημάτων (σχεδόν το σύνολό τους) καταλήγει σε εξισώσεις που δεν επιλύονται εύκολα με οποιοδήποτε από τους κλασσικούς τρόπους, ενώ αντίθετα κάθε εξίσωση αν δεν είναι αδύνατη, επιλύεται προσεγγιστικά.

Η προσεγγιστική επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης, μας βγάζει από την αδυναμία αυτή, δεδομένου ότι μία αρκετά μεγάλη προσέγγιση είναι αφ’ ενός εφικτή, αφ’ ετέρου σχετικά ακριβής και ικανοποιεί τις απαιτήσεις οποιουδήποτε υπαρκτού προβλήματος.

4.        ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

         

     α. Καινοτομίες :.

Οι μαθητές , έχουν παραδοσιακά συνηθίσει να επιλύουν εξισώσεις (ή προβλήματα που καταλήγουν σε εξισώσεις) των οποίων η λύση είναι «στα μέτρα τους», δηλαδή είναι ρητή.  Στην πιο ακραία περίπτωση «αποδέχονται» λύσεις άρρητους αριθμούς. Εξισώσεις όμως όπως χ²=2,  ή παρόμοιες, x=e^χ, χ=ημχ,  lnx=x² κλπ   τις εξοβελίζουν, τις χαρακτηρίζουν αδύνατες και τις απορρίπτουν από τη λογική τους, αν και είναι αυτές που συναντάμε πιο συχνά στη φύση. Φυσικά το χειρότερο είναι ότι και ο εκπαιδευτικός τις αποφεύγει πέφτοντας και αυτός θύμα της ίδιας νοοτροπίας μέσα στα ασφυκτικά στενά χρονικά περιθώρια του αναλυτικού προγράμματος.

Με τη δραστηριότητα αυτή, γίνεται πιο ξεκάθαρο στους μαθητές ότι αυτού του είδους οι εξισώσεις όχι μόνο εμφανίζονται και μάλιστα συχνά σε υπαρκτά προβλήματα στην καθημερινή ζωή, αλλά και ότι η επίλυσή τους δεν είναι και τόσο απλησίαστη, βουνό ή εφιαλτική όπως  μας εμφανίζονται.

Η διαδικασία που ακολουθείται είναι στα χνάρια της πρότασης του σχολικού βιβλίου. Ωστόσο αναδεικνύει πολύ ικανοποιητικά τη χρησιμότητα κάποιων (λίγων έστω) λειτουργιών του λογισμικού εργαλείου  FP και την αναγκαιότητα της χρήσης του.

β. Προστιθέμενη αξία: Τόσο οι μαθητές αλλά τόσο και ο διδάσκων μπαίνουν σε μια διερευνητική διαδικασία που πολύ δύσκολο και απαιτεί κόπο και χρόνο, να γίνει με παραδοσιακό τρόπο.

Έτσι, οι μαθητές προσεγγίζουν «όσο θέλουν» την αριθμητική τιμή της ρίζας, και τελικά την υπολογίζουν με σχετική «ακρίβεια».

Μοντελοποιούν προβλήματα, και η εμπειρία που αποκτούν, τους βοηθάει στην αντιμετώπιση παρόμοιων καταστάσεων.

γ. Γνωστικά και διδακτικά προβλήματα: Οι μαθητές έχουν μάθει να αντιμετωπίζουν τις εξισώσεις μέσα από μηχανιστική ασκησιολογία, μακριά από πραγματικά προβλήματα τα πλείστα των οποίων καταλήγουν σε «περίεργες» εξισώσεις. Τέτοια προβλήματα υπάρχουν πολλά στα  βιβλία όλων των τάξεων  Γυμνασίου- Λυκείου.

Επίσης αντιμετωπίζουν πρόβλημα στην  κατανόηση της έννοιας του διαστήματος, της ρίζας συνάρτησης, του νοήματος της τετμημένης του σημείου που η γραφική παράσταση τέμνει τον χ΄χ,  του νοήματος των συντεταγμένων του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων.

δ. Θεωρητικό πλαίσιο: Οι μαθητές πειραματίζονται, (βάζοντας διαφορετικό βήμα προσέγγισης κάθε φορά) ερευνούν ( τι γίνεται αν χωρίσουμε το διάστημα σε περισσότερα υποδιαστήματα) καταλήγουν σε ίδια συμπεράσματα και γενικεύουν. Διερωτώνται (αν υπάρχουν συναρτήσεις που δεν τέμνουν τον χ΄χ), αναστοχάζονται.

Οικοδομούν λοιπόν νοήματα και έννοιες και αυτό γίνεται μέσα από τη συνεργατική μάθηση (οι ομάδες μέσα από συζήτηση βλέπουν ότι καταλήγουν στα ίδια συμπεράσματα αν και χρησιμοποίησαν διαφορετικές προσεγγιστικές πορείες)

5. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Β΄Λυκείου (για πολυωνυμικές συναρτήσεις). Κυρίως όμως για μαθητές της Γ΄Λυκείου στο Θεώρημα του Bolzano (για συνεχείς συναρτήσεις).

α. Απαιτούμενος Χρόνος υλοποίησης: 2-3 διδακτικές ώρες.

β. Χώρος υλοποίησης:  Δύο ή τρεις στο Εργαστήριο                           υπολογιστών.

γ. Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών:

Α. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν στοιχειώδεις γνώσεις του FP.

B. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν διδαχθεί στον πίνακα, την έννοια του Πεδίου Ορισμού, του συνόλου τιμών, του διαστήματος, το Θεώρημα Bolzano για πολυώνυμα (Β΄τάξη) ή γενικώς για συνεχείς συναρτήσεις, την γεωμετρική έννοια της ρίζας συνάρτησης στον άξονα (f(x)=0). Να έχουν κατανοήσει τη διαφορά μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης, όπως και μεταξύ ρίζας εξίσωσης και ρίζας συνάρτησης. Επίσης ότι:

1.       Η τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f, g έχει τετμημένη  χ₀ τη λύση της εξίσωσης f(x)=g(x) (ισοδύναμα της f(χ) – g(χ)=0) που προκύπτει ως λύση του συστήματος  ψ=f(χ), ψ=g(χ).

2.                      Αν η γραφική παράσταση y=f(χ) τέμνει τον άξονα χ΄χ       σε σημείο Α, η τετμημένη Χ_Α του Α είναι ρίζα της  εξίσωσης f(x)=0.

3.                      Να έχουν κατανοήσει ότι αν οι γραφικές παραστάσεις των y=f(χ) και y=g(χ) τέμνονται σε σημείο Β, τότε η τετμημένη Χ_β   του Β είναι ρίζα της  εξίσωσης f(x)=g(x)

(ισοδύναμα της f(x)-g(x)= 0).

4.                      Αν μία συνεχής συνάρτηση f ορίζεται σε διάστημα [α, β] και f(α), f(β) είναι ετερόσημοι, τότε ανάμεσα στα α, β υπάρχει μία ρίζα (ή περισσότερες) της εξίσωσης f(x)=0.

δ. Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.

    

     1. Εργαστήριο Η/Υ με 1 Η/Υ ανά δύο ή τρεις μαθητές,                       και εγκατεστημένο το FP.

      2. Φύλλο εργασίας για το μαθητή.

      3. Εγχειρίδιο χρήστη του FP με τις στοιχειώδεις λειτουργίες του λογισμικού.

ε. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης:

   

    Οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων (η σύνθεση των ομάδων ελέγχεται και δεν είναι τυχαία), έχουν ελαφρώς διαφορετικό φύλλο εργασίας. ( Εργάζονται λύνοντας την εξίσωση φ(χ) = f(x)-g(x)=0 και βρίσκοντας προσεγγιστικά τα σημεία τομής της C_φ (γραφική παράσταση της φ) με τον χ΄χ. Η μία ομάδα χωρίζει το αρχικό διάστημα σε 2 υποδιαστήματα, η άλλη σε 3 ή περισσότερα.

Ρόλοι (εναλλάσσονται): Ο α΄= χειριστής του Η/Υ/  ο β΄= κρατάει σημειώσεις στο φύλλο εργασίας, ενώ ο τρίτος αν υπάρχει, συντονίζει, βοηθάει από το εγχειρίδιο του FP, ώστε να μη καθυστερούν λόγω άγνοιας του λογισμικού.

Ο διδάσκων: επιβλέπει, παροτρύνει εμψυχώνει, και καθοδηγεί συμβουλευτικά όταν και όπου χρειάζεται τις ομάδες.

στ. Στόχοι της δραστηριότητας.

1.                       Παιδαγωγικοί: Ανάπτυξη της συνεργασίας για επίτευξη κοινού στόχου.

          Ανακάλυψη της λύσης μέσω πειραματισμού και εικασίας.

2.      Μαθησιακοί: Οι μαθητές θα επιδράσουν και θα επηρεασθούν από τη λειτουργία του λογισμικού, και αναμένεται να κατανοήσουν καλύτερα τις έννοιες που αναφέρονται στις προαπαιτούμενες γνώσεις, όπως: Π.Ο., διάστημα κλπ,  να πάρουν γεύση του κιβωτισμού διαστήματος χωρίς ωστόσο να γίνει ιδιαίτερη αναφορά στον όρο.

         Να βρίσκουν διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης της λύσης.

3.                Διδακτικοί: Να διερευνήσουν τη λύση της εξίσωσης μέσα από το γράφημα,

          Να εμπλακούν σε διαδικασίες διερεύνησης, και προσέγγισης της λύσης εξισώσεων με χρήση του Θ. Bolzano.

Να κατανοήσει ότι : Αν η ρίζα της f(x) είναι ρητός αριθμός, σε κάποιο βήμα θα υπολογισθεί ακριβώς, ενώ αν είναι άρρητος, ναι μεν δεν θα υπολογισθεί ακριβώς, αλλά η προσέγγιση θα είναι τέτοια, που να θεωρείται «ακριβής».

Στο σημείο αυτό μπορεί να γίνει συζήτηση για το γεγονός ότι ο Η/Υ προσεγγίζει με δεκαδικά ψηφία την άρρητη ρίζα και επομένως είναι αδύνατη  η επακριβής εύρεσή της (πχ √3 ) ενώ δεν συμβαίνει το ίδιο αν η ρίζα είναι ρητός.

6.  ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Σε κάποια χώρα ποταμός (Π) ρέει γύρο από απόκρημνο βουνό, η περιοχή του οποίου έχει χαρακτηρισθεί ως Εθνικός Δρυμός όπως φαίνεται στο σχέδιο. Υπάρχει τοπικός ευθύς δρόμος που συνδέει δύο πόλεις Π1 και Π2. Από αεροφωτογράφηση  βρέθηκε ότι το κομμάτι του ποταμού πλησίον του δρόμου διέρχεται από τέσσερα σημεία( Δένδρα, χαρακτηριστικού σχήματος βράχους),  Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν, που ως προς κάποιο σύστημα συνεταγμένων που σχεδιάστηκε με τη βοήθεια της αεροφωτογραφίας, έχουν συντεταγμένες: Η(-4, 1) Θ(-2 , 1)  Ι(-1.5, 1.3) Κ(-1, 1.2) Λ(0, 1.8),    Μ(0.5, 2.8) Ν(2, 8.1) Ρ(2.5, 13.3), με άξονα χ΄χ τον τοπικό δρόμο και ψ΄ψ κάθετη σ’ αυτόν ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλουμε να κατασκευάσουμε σιδηροδρομική γραμμή ΑΒ, οπωσδήποτε σε ευθεία, που να τέμνει πλαγίως τον τοπικό δρόμο.

Η σιδηροδρομική γραμμή για λόγους προστασίας του περιβάλλοντος, δεν πρέπει να είναι επιφανειακή.

Επομένως θα πρέπει να διανοιχθεί τούνελ μήκους ΑΒ.

Ζητούμε τα σημεία Α και Β (συντεταγμένες) καθώς και το μήκος του τούνελ για να προϋπολογίσουμε το κόστος κατασκευής του. (Η μονάδα μήκους είναι 1 χιλιόμετρο).

Προσεγγιστική εύρεση της συνάρτησης που περιγράφει την διαδρομή του ποταμού:

Κατ’ αρχήν καταγράφουμε τις συντεταγμένες των σημείων Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν και Ρ σε πίνακα.

Από την επιλογή «αποστολή» του παράθυρου «πίνακας» κάνουμε «αποστολή σε γράφημα». Το αποτέλεσμα βλέπουμε κατωτέρω:

.

Από τη μορφή της αεροφωτογραφίας της διαδρομής του ποταμού και της θέσης των σημείων φαίνεται ο τύπος της συνάρτησης να είναι της μορφής:  ψ = e^x. Το συμπέρασμα αυτό είναι μία εικασία που αναμένεται να προκύψει μέσα από συζήτηση και  αναστοχασμό.

Από την εργαλειοθήκη (κουμπί 4) εισάγουμε ψ=e^χ και εμφανίζεται η γραφική της παράσταση, η οποία όμως δεν μάλλον δεν προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τη διαδρομή του ποταμού.

Προσαρμόζουμε τη γραφική παράσταση της ψ=e^x στα δεδομένα σημεία, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν και Ρ.

Με επιλεγμένη τη γραφική παράσταση, χρησιμοποιούμε το κουμπί 9.

    1      2      3      4      5      6      7      8      9      10    11  

Και επιλέγουμε:

           

Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να «σύρουμε» ολόκληρη τη γραφική παράσταση παραλλήλως προς τον άξονα ψ΄ψ, ώστε να προσεγγίσει

καλά» τα δοθέντα σημεία (πειραματισμός – διερεύνηση).

Από το παράθυρο γράφημα, επιλέγω «επιλογές γραφήματος» και αμέσως «εμφάνιση μετασχηματισμών» Στη γραμμή εργαλείων εμφανίζεται ο τύπος της «νέας» συνάρτησης μετά τη παράλληλη μεταφορά της γραφικής παράστασης της y=e^x

Η γραφική παράσταση στη νέα θέση φαίνεται να προσεγγίζει «πολύ καλά» τη γραφική παράσταση της άγνωστης συνάρτησης. Ο τύπος της συνάρτησης αυτής είναι:

Σημείωση: Μπορεί κάποιοι μαθητές να βρούν F(χ)=e^χ + 1 ή F(χ)=e^χ + 0.93 ή κάτι τέτοιο.

Τότε εξηγούμε την αδυναμία όχι των μαθηματικών ή των Η/Υ αλλά της «οπτικής» προσέγγισης που χρησιμοποιήσαμε. Βεβαίως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προσεγγιστικό τύπο F(χ)=e^x + 1

Με ανάλογο τρόπο (πάλι με φωτογράφηση)  υπολογίσθηκε η εξίσωση της ευθείας της υπό κατασκευή σιδηροτροχιάς, με τους παραπάνω άξονες, που είναι:

  

(Η εύρεση του τύπου αυτού σαφώς γίνεται με παρόμοιο τρόπο και δεν κρίνεται σκόπιμο να επαναλάβουμε τη μέθοδο. Μπορούμε λοιπόν να δώσουμε έτοιμο τον τύπο αυτό στους μαθητές προκειμένου να εστιάσουμε στην τομή των δύο γραφικών παραστάσεων.

 Με παραδοσιακό τρόπο λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

Οδηγούμαστε στην εξίσωση:

e^x + 1,03 = 3χ +1,53   ή στην :

e^x - 3χ -0.5 = 0

Είναι φανερό ότι η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης μόνο ενθουσιασμό δεν προκαλεί.

Γι΄ αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση  h(χ)= e^x – 3χ – 0.5

Την εισάγουμε στο FP:

    1      2      3      4      5      6      7      8      9      10    11  

Από την «εργαλειοθήκη του παράθυρου «γράφημα» ζητάμε από τους μαθητές να εισάγουν την συνάρτηση  Φ. Πιέζοντας το κουμπί 4  γράφουν ψ=e^x – 3x -0.5. Με «enter» εμφανίζεται η γραφική παράσταση της h που φαίνεται να τέμνει τον χ΄χ σε δύο σημεία. Το ένα Σ με τετμημένη μεταξύ 0 και 1 ενώ το άλλο Τ  με τετμημένη μεταξύ των 1 και 2.

Ζητείται από τους μαθητές να βρουν τις ακριβείς τετμημένες των σημείων αυτών.

Α. για το Χ_Σ

Προς τούτο, μέσα από φύλλο εργασίας θα τους περιγράψουμε τα βήματα αν δεν είναι εξοικειωμένοι με το fp.

Από την επιλογή «γράφημα» του παραθύρου «γράφημα» επιλέγουν «δείγμα από καμπύλη» και από εκεί «σύνολο σημείων». Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται, οι μαθητές επιλέγουν για άκρα δύο τυχαίες τιμές χ₁, χ₂ του χ μεταξύ των οποίων όμως να είναι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της h με τον χ΄χ, δηλαδή η τετμημένη του σημείου αυτού να είναι μία ρίζα της εξίσωσης (αρχική τιμή χ₁ και τελική χ₂). Εδώ το χ_Σ είναι μεταξύ 0 και 1.

Ζητούν εισαγωγή τριών τμημάτων και πιέζουν οκ.

(χωρίζουν το [0, 1] σε τρία υποδιαστήματα. Γίνεται όμως να χωρισθεί σε δύο ή και  περισσότερα).

Στο σύστημα αξόνων εμφανίζονται 4 σημεία.

 Αμέσως μετά επιλέγουν από το παράθυρο «γράφημα»την επιλογή «αποστολή» και από εκεί «σημεία σε πίνακα». Στο παράθυρο πίνακας εμφανίζονται σε στήλες οι συντεταγμένες των παραπάνω σημείων.

Θα παρατηρήσουν ότι υπάρχουν δύο γειτονικές ετερόσημες τιμές του ψ. Αφού η  h είναι συνεχής, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, μεταξύ των αντιστοίχων τιμών 0 και 0.33 του χ υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ₁ με h(ξ₁)=0.

Στη στήλη ψ θα γράψουν τον τύπο της συνάρτησης ψ=e^x – 3χ – 0.5.

Θα πρέπει να επιλέξουν τις δύο αυτές τιμές του χ και από την επιλογή «πίνακας» του παράθυρου «πίνακας» το  «ενδιάμεσο γέμισμα». Στο εμφανιζόμενο παράθυρο διαλόγου ως τιμή αύξησης επιλέγεται  νέα προσέγγιση 0,01 και οκ. Ο πίνακας γεμίζει με νέες τιμές του χ και αντίστοιχες του ψ. Εάν για κάποιο χ=ξ₂  βρεθεί ψ=0, τότε το ξ₂ είναι η ζητούμενη ρίζα. Αν όχι, επαναλαμβάνεται το «γέμισμα» με αύξηση 0,001 κοκ.  

Τελικά θα βρουν για Χ_Σ=0.27 km ψ=0

Β. Ομοίως ενεργούν για το Χ_Τ και βρίσκουν Χ_Τ=1.75 km

Από τον τύπο της ευθείας ψ = 3χ + 1.5  με αντικατάσταση και πράξεις με calculator από μνήμης ή όπως αλλιώς θέλουν, οι μαθητές θα βρουν:

Ψ_Σ = 3*0.27+ 1.5 = 0.81+1.5= 2,31  και

Ψ_Τ = 3*1.75 + 1.5=5.25 + 1.5 = 6.75

Άρα ψ_Σ =2.31 και ψ_Τ =6.75

Από αυτό το σημείο και μετά με χρήση calculator ή της αριθμομηχανής του fp θα προχωρήσουν σε υπολογισμούς :

ΑΒ² = (Χ_Τ – Χ_Σ)² + (Ψ_Τ – Ψ_Σ)² = (1.75-0.27)² + (6.75 – 2.31)² =

1.48² + 4.44² = 2.1904+19.7136=21.904. Αρα ΑΒ² = 21.904. Τότε

ΑΒ= 4.68 km

Η υλοποίηση του σεναρίου στην τάξη μπορεί να γίνει με φύλλο εργασίας. Μάλιστα μπορεί να δοθεί άλλο φύλο στις τέσσερις ομάδες και άλλο στις άλλες τέσσερις, ώστε να προσεγγίσουν τη λύση από διαφορετικές οπτικές. Στη μία τετράδα ομάδων να δοθεί : ως f(x)=e^x – 3x -0.5  και να ζητηθεί η προσέγγιση να γίνει με 3 υποδιαστήματα ενώ σε άλλη ομάδα να ζητηθεί να δώσει 2 ή 4 ή … διαστήματα. Θα ανακαλύψουν ότι «τελικά» θα βρουν τις ίδιες λύσεις.

ΕΠΕΚΤΑΣΗ

Η παραπάνω προσεγγιστική μέθοδος εφαρμόζεται σε πλήθος περιπτώσεων.

Π.χ. χ² = 2  (ή χ³=5) για την εύρεση της τετραγωνικής ή της οποιασδήποτε τάξης ρίζας, ,  χ = ημχ,   χ3 = 5 κλπ.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1

Ονόματα μελών ομάδας:

1. ………………………………………………………………………………

2. ………………………………………………………………………………

3. ………………………………………………………………………………

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Σε κάποια χώρα, ποταμός (Π) ρέει γύρο από απόκρημνο βουνό, η περιοχή του οποίου έχει χαρακτηρισθεί ως Εθνικός Δρυμός όπως φαίνεται στο σχέδιο. Υπάρχει τοπικός ευθύς δρόμος που συνδέει δύο πόλεις Π1 και Π2. Από αεροφωτογράφηση  βρέθηκε ότι το κομμάτι του ποταμού πλησίον του δρόμου διέρχεται από επτά σημεία (Δένδρα, χαρακτηριστικού σχήματος βράχους),  Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν, που ως προς κάποιο σύστημα συνεταγμένων που σχεδιάστηκε με τη βοήθεια της αεροφωτογραφίας, έχουν συντεταγμένες: Η(-4, 1) θ(-2 , 1)  Ι(-1.5, 1.3)        Κ(-1, 1.2) Λ(0, 1.8),    Μ(0.5, 2.8) Ν(2, 8.1) Ρ(2.5, 13.3), (άξονας χ΄χ ο τοπικός δρόμος και ψ΄ψ κάθετη σ’ αυτόν ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλουμε να κατασκευάσουμε σιδηροδρομική γραμμή, ΑΒ οπωσδήποτε σε ευθεία, που τέμνει πλαγίως τον τοπικό δρόμο.

Η σιδηροδρομική γραμμή για λόγους προστασίας του περιβάλλοντος, δεν πρέπει να είναι επιφανειακή.

Επομένως θα πρέπει να διανοιχθεί τούνελ μήκους ΑΒ.

Ζητούμε το μήκος του τούνελ και τα σημεία Α, Β, για να προϋπολογίσουμε το κόστος κατασκευής του. (Η μονάδα μήκους είναι 1 χιλιόμετρο).

Παρατηρείστε την αεροφωτογραφία στην οποία έχουν σχεδιαστεί άξονες χ΄χ και ψ΄ψ.

Θεωρείστε τα σημεία:

Η(-4, 1), Θ(-2 , 1),  Ι(-1.5, 1.3), Κ(-1, 1.2), Λ(0, 1.8),  Μ(0.5, 2.8)

Ν(2, 8.1), Ρ(2.5, 13.3) και τοποθετείστε τα στην αεροφωτογραφία (κατ’ εκτίμηση).

Τοποθετείστε τα σημεία στο παράθυρο πίνακας.

    1      2      3      4      5      6      7      8      9      10    11  

Από την επιλογή «αποστολή» του παράθυρου «πίνακας» κάνετε «αποστολή σε γράφημα». Τι παρατηρείτε;…………………………………………………………….…………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….……………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………….

Μπορείτε να υποθέσετε - φανταστείτε τη μορφή (τύπο) της συνάρτησης που έχει γραφική παράσταση την κοίτη του ποταμού; Γράψτε την ……………………………………………………………………………………………………………………………

Από την εργαλειοθήκη (κουμπί 4) εισάγετε  τον τύπο της ανωτέρω συνάρτησης (όπως την φαντασθήκατε).

Η γραφική παράσταση που εμφανίζεται προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τη διαδρομή του ποταμού; (ναι – όχι) …………………………………….

Υπάρχει δυνατότητα μετατόπισης της γραφικής παράστασης ώστε να περάσει «σχεδόν» από όλα τα σημεία; Τι προτείνετε ;

……………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..

Δοκιμάστε το «κουμπί» (9) και σύρετε τη γραφική παράσταση δοκιμάζοντας τις δύο δυνατότητες που παρέχονται (οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση).

Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………..

Μπορείτε τελικά να τοποθετήσετε τη γραφική παράσταση με τον «καλύτερο» τρόπο στα σημεία Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν;

(Από το παράθυρο γράφημα, επιλέξτε «επιλογές γραφήματος» και αμέσως «εμφάνιση μετασχηματισμών» Στη γραμμή εργαλείων θα εμφανισθεί ο τύπος της «νέας» συνάρτησης μετά τη παράλληλη μεταφορά της γρ. παράστασης της y=e^x ).

Η γραφική παράσταση στη νέα θέση φαίνεται να προσεγγίζει «πολύ καλά» τη γραφική παράσταση της άγνωστης συνάρτησης.

Ποιος είναι ο τύπος της «νέας» συνάρτησης αυτής;

…………………………………………………… ……………………………………………………………………

Αλλάξτε τα σημεία και επαναλάβατε την ανωτέρω εργασία

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2

1      2      3      4      5      6      7      8      9      10    11

Ονόματα μελών ομάδας:

4.            ………………………………………………………………………………

5.            ………………………………………………………………………………

6.            ………………………………………………………………………………

Α.  Μπορείτε να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ=e^x + 1,03   και ψ = 3χ + 1.53;  Λύσετε την εξίσωση. 

ΛΥΣΗ:……………………………………………………………………………………………….………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

Αν δυσκολεύεσθε,

Ανοίξτε το FP.

Να λυθεί η εξίσωση:   e^x = 3x +0.5   (1)

Γράψτε τη συνάρτηση της οποίας ρίζες να είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1)

f(x)= ……………………………………………………………………

Από τη γραμμή εργαλείων, χρησιμοποιήστε το κουμπί   (4)

Στη γραμμή εισαγωγής τύπων γράψτε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης και πιέστε enter . Θα εμφανισθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης.

-Μπορείτε από τη μορφή της να βρείτε αν έχει ρίζες πόσες είναι και να τις «δείξετε» με το «ποντίκι»;

Συμπληρώστε: « Η εξίσωση έχει ..…. ρίζες.»

Γράψτε τα  διαστήματα μέσα στα οποία είναι κάθε μία από τις ρίζες ………………………………….

Επιλέξτε τη μικρότερη (α΄ομάδα) ή τη μεγαλύτερη (β΄ομάδα)  και διαλέξτε ένα διάστημα εντός του οποίου βρίσκεται η ρίζα αυτή.                         Δ=[………..]

Από την επιλογή «γράφημα» του παράθυρου «γράφημα», επιλέξτε «δείγμα από καμπύλη» και από εκεί «σύνολο σημείων».

Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται, επιλέξτε για άκρα δύο τυχαίες τιμές α1 , α2 του χ μεταξύ των οποίων όμως να είναι το σημείο που η  C_h τέμνει τον χ΄χ, δηλαδή η τετμημένη του σημείου

αυτού να είναι μία ρίζα της εξίσωσης(αρχική τιμή =α1 και τελική α2) Μπορείτε να πάρετε από 0 μέχρι 1 για τη μικρότερη ρίζα και από 1 μέχρι 2 για τη μεγαλύτερη.

Ζητείστε εισαγωγή τριών τμημάτων και πιέστε οκ.

(Η β΄ ομάδα να χωρίσει το [1,2 ] σε τρία υποδιαστήματα. Αν θέλουμε μπορούμε σε δύο ή περισσότερα.)

Στη γραφική παράσταση (γράφημα) εμφανίζονται 4 σημεία.

Αμέσως μετά επιλέξτε από το παράθυρο «γράφημα» την επιλογή «αποστολή» και από εκεί «σημεία σε πίνακα». Στο παράθυρο «πίνακας» εμφανίζονται σε στήλες οι συντεταγμένες των ανωτέρω σημείων

Τι παρατηρείτε;

Μπορείτε να εντοπίσετε δύο τιμές του χ   ώστε οι αντίστοιχες τιμές του ψ να είναι ετερώσημες ; ………………………………………………………………………………………………………………

Ποιες είναι οι τιμές αυτές;…… ……………….……….

Εφαρμόζεται και γιατί το θεώρημα Bolzano; …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….

Είναι μεταξύ αυτών των τιμών η ρίζα που ψάχνουμε; …………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..

Είναι το συμπέρασμα από τα φαινόμενα στον Η/Υ αναμενόμενα σύμφωνα με τη θεωρεία;

…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..

Συζητείστε μεταξύ σας και αιτιολογήστε τα συμπεράσματά σας.

ΣΕΝΑΡΙΟ MODELLUS. ΘΕΜΑ: ΒΟΛΗ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ. ΤΙΤΛΟΣ: Ο ΠΑΠΠΟΥΣ ΘΥΜΩΣΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΕΙ ΣΚΟΠΟΒΟΛΗ

1.  ΤΙΤΛΟΣ :

Ο ΠΑΠΠΟΥΣ ΘΥΜΩΣΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΕΙ ΣΚΟΠΟΒΟΛΗ

2.        ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ :

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ:

ΜΕΝΕΞΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ:

ΦΥΣΙΚΗ  Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ:

ΒΟΛΗ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ

Υποθέμα:  ΒΟΛΗ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ

3.        ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ:

   Η βασική ιδέα προήλθε από την ανάγκη κατανόησης από τους μαθητές των νόμων της Φυσικής και τον συσχετισμό τους με ήδη γνωστές έννοιες των μαθηματικών όπως τροχιά-γραφική παράσταση, νόμος(τύπος)-συνάρτηση, ο χρόνος ως ανεξάρτητη μεταβλητή.

Η ιδέα περνάει από ένα πρόβλημα:

Ένας παππούς κτηματίας, βλέποντας στην αυλή του τρύπες και κατεστραμμένο το γκαζόν, καταλαβαίνει ότι την αυλή του εποίκησαν τυφλοπόντικες.

Εξαγριωμένος αποφασίζει να μάθει σκοποβολή.

Παίρνει το παμπάλαιο τουφέκι του, τοποθετεί μια παλιά μπάλα σε κάποια απόσταση και αρχίζει την προπόνηση.

Παραδοχές:

1.                     Ο παππούς είναι πάντοτε καθιστός, η κάνη του όπλου όταν πυροβολεί απέχει από το έδαφος περίπου 80 cm

2.                     Η γωνία υπό την οποία πυροβολεί είναι από 15^ο μέχρι 60^ο

Το τουφέκι είναι παλιό με μικρό βεληνεκές.

Τεχνικά στοιχεία: u_o = 80 km/h

4.        ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

         

α. Καινοτομίες : Με τη βοήθεια του μοντελοποιημένου πειράματος, οι μαθητές θα έχουν την ευκαιρία να γνωρίσουν την βολή υπό γωνία σε προσομοίωση και να ανακαλύψουν το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει τους νόμους που την διέπουν

β. Προστιθέμενη αξία: Τόσο οι μαθητές αλλά τόσο και ο διδάσκων μπαίνουν σε μια διερευνητική διαδικασία αναπαράστασης και μελέτης φυσικών φαινομένων που τις περισσότερες φορές είναι σχεδόν αδύνατον  να γίνει σε πραγματικές συνθήκες.

Το βασικό όμως είναι ότι δίνεται η ευκαιρία να γίνει συζήτηση για την άμεση σχέση των νόμων της φυσικής με τις συναρτήσεις (με ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο) για τη χρησιμότητα των γραφικών παραστάσεων στην περιγραφή ενός φαινομένου.

Έτσι, οι μαθητές ορίζουν συναρτήσεις για να μελετήσουν τη βολή, και μάλιστα στη συγκεκριμένη περίπτωση, η συνάρτηση είναι με κλάδους.

γ. Γνωστικά και διδακτικά προβλήματα: Οι μαθητές δεν έχουν μάθει να εργάζονται σε προγραμματιστικό περιβάλλον ή γενικότερα με λογισμικό.

Έχουν μάθει να αντιμετωπίζουν τις ασκήσεις μέσα από μηχανιστική ασκησιολογία, χωρίς να έχουν εικόνα του φαινομένου που διέπει το πρόβλημα που αντιμετωπίζουν.

Γενικότερα υπάρχει μια αδυναμία συσχέτισης μαθηματικών εννοιών και εννοιών της Φυσικής.

δ. Θεωρητικό πλαίσιο: Οι μαθητές μέσα από μία δραστηριότητα, συνεργάζονται,  πειραματίζονται, συζητούν, κάνουν λάθη, τα διαπιστώνουν και επανέρχονται με νέες ιδέες τα διορθώνουν. Βάζουν διαφορετικό βήμα κάθε φορά στη βολή, αλλάζουν την αρχική ταχύτητα και διαπιστώνουν τις επιπτώσεις των αλλαγών αυτών στη τροχιά και στο βεληνεκές της βολής.

 Αντιλαμβάνονται ότι τα χ, και ψ των αξόνων μπορεί να είναι και αυτά συναρτήσεις άλλης (της ίδιας ωστόσο) μεταβλητής t.

Οικοδομούν τη γνώση πειραματιζόμενοι με αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων  

5. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Α΄Λυκείου

α. Απαιτούμενος Χρόνος υλοποίησης: 2-3 διδακτικές ώρες.

β. Χώρος υλοποίησης:  Δύο ή τρεις στο Εργαστήριο                           υπολογιστών.

γ. Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών:

Α. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν στοιχειώδεις γνώσεις του modellus.

B. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν διδαχθεί στον πίνακα, τους τύπους ελεύθερης πτώσης, της ομαλώς επιταχυνόμενης ή επιβραδυνόμενης κίνησης, της ομαλής χωρίς επιτάχυνση κίνησης, της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης και της σύνθετης κίνησης (άθροισμα διανυσμάτων).

  

δ. Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.

     1. Εργαστήριο Η/Υ με 1 Η/Υ ανά δύο ή τρεις μαθητές,                       και εγκατεστημένο το modellus.

      2. Φύλλο εργασίας για το μαθητή.

      3. Εγχειρίδιο χρήστη του modellus  με τις στοιχειώδεις λειτουργίες του λογισμικού.

ε. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης:

   

    Οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων (η σύνθεση των ομάδων ελέγχεται και δεν είναι τυχαία), έχουν ελαφρώς διαφορετικό φύλλο εργασίας.

ΣΕ πρώτη φάση εργάζονται στο πρόβλημα της οριζόντιας ομαλής κίνησης με σταθερή ταχύτητα..

Σε 2^η φάση μελετούν την ομαλώς μεταβαλλόμενη κίνηση (σταθερή επιτάχυνση).

Σε 3^η φάση συνδυάζουν τις κινήσεις  λύνοντας δημιουργώντας την βολή

     Ρόλοι (εναλλάσσονται): Ο α΄έχει το ρόλο του χειριστή του Η/Υ/  ο β΄ κρατάει σημειώσεις στο φύλλο εργασίας και ο γ΄ κάνει υπολογισμούς στο calculator, ενώ ο τρίτος αν υπάρχει, συντονίζει, βοηθάει από το εγχειρίδιο του modellus ώστε να μη καθυστερούν λόγω άγνοιας του λογισμικού.

Ο διδάσκων: επιβλέπει, παροτρύνει εμψυχώνει, και καθοδηγεί      τις ομάδες.

στ. Στόχοι της δραστηριότητας.

1.                       Παιδαγωγικοί: Ανάπτυξη της συνεργασίας για επίτευξη κοινού στόχου.

          Ανακάλυψη της λύσης μέσω πειραματισμού και εικασίας.

2.      Μαθησιακοί: Οι μαθητές θα επιδράσουν και θα επηρεασθούν από τη λειτουργία του λογισμικού, και αναμένεται να συσχετίσουν τις έννοιες τροχιά-γραφική παράσταση, ανεξάρτητη μεταβλητή χρόνος,  να κατανοήσουν καλύτερα τις έννοιες που αναφέρονται στις προαπαιτούμενες γνώσεις, όπως: εξίσωση της κίνησης,

         Να βρίσκουν διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης της λύσης.

          Να κατανοήσουν τη χρήση του τριωνύμου στη φύση και να μπορούν να αξιοποιούν τις ιδιότητές του.

3.                Διδακτικοί: Να διερευνήσουν τη λύση του προβλήματος μέσα από την τροχιά της βολής

          Να εμπλακούν σε διαδικασίες διερεύνησης, και προσέγγισης της λύσης με τη μεταβολή των αρχικών τιμών των συντελεστών που εδώ είναι η αρχική ταχύτητα και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

6.  ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Ένας παππούς κτηματίας, βλέποντας στην αυλή του τρύπες και κατεστραμμένο το γκαζόν, καταλαβαίνει ότι την αυλή του εποίκησαν τυφλοπόντικες.

Εξαγριωμένος αποφασίζει να ξαναπάρει το τουφέκι του.

Παίρνει λοιπόν το παμπάλαιο τουφέκι, τοποθετεί μια παλιά μπάλα για στόχο σε κάποια απόσταση και αρχίζει την προπόνηση.

Το τουφέκι είναι παλιό με μικρό βεληνεκές.

Τεχνικά στοιχεία: ταχύτητα εξόδου του βλήματος= 80 km/h.

Επειδή έχει πρόβλημα με τα πόδια του, πρέπει να στήσει «καρτέρι» στον τυφλοπόντικα.

Σε πόση απόσταση πρέπει να σταθεί ο παππούς ώστε να πετύχει τον τυφλοπόντικα των ώρα που θα εμφανίζεται στην έξοδο της τρύπας;

Παραδοχές:

1.    Ο παππούς είναι πάντοτε καθιστός, η κάνη του όπλου όταν πυροβολεί απέχει από το έδαφος περίπου 80 cm

2.    Η γωνία υπό την οποία πυροβολεί είναι από 15^ο μέχρι 60^ο

              Το τουφέκι είναι παλιό με μικρό βεληνεκές.

              Ταχύτητα εξόδου του βλήματος: u_o = 80 km/h (μεγάλοι αριθμοί               δημιουργούν προβλήματα)

        U1:  η ταχύτητα του κινητού στόχου.

C:  το c*s είναι η απόσταση του στόχου από τον παππού, όταν ακούγεται ο πυροβολισμός οπότε ο στόχος αρχίζει να κινείται ταυτόχρονα με το βλήμα.              

1. l=uo*cos(a)           (Οριζόντια συνιστώσα της υ₀)

2. k=uo*sin(a)          (Κατακόρυφη συνιστώσα της υ₀)

3. h1=7                    (ύψος τοποθέτησης της μπάλας για να φαίνεται ότι                                εφάπτεται στο έδαφος)

4. d=k^2+2*g*h       h= η απόσταση της κάνης από το έδαφος,                                            d=η  διακρίνουσα της εξίσωσης για ψ=h τριωνύμου                                              ψ=-5t²+κt ή  5t²-κt +72=0

5. rd=√d                   η τετραγωνική ρίζα της d

6. t1=(k+rd)/g          t1 η χρονική στιγμή που το βλήμα προσκρούει στο                                                        έδαφος.

7. s=l*t1                   s = το βεληνεκές

8. if(t<3)then(f=20*t)       περιγράφει την κίνηση του παππού.

9. if(t>3)then(f=57)          ομοίως

10. if(t<t1)then((x=l*t)and(y=h+k*t-0.5*g*t^2)) (κίνηση του βλήματος                                                                              αμέσως μετά τον                                                                                πυροβολισμό)

                                                                             

12. if(t<t1)then(q=c*s+u1*t)and(y=6)      (θέση της μπάλας στόχος   πριν την πρόσκρουση του βλήματος)

           ________________________

dist=√((l*t-c*s-u1*t)^2+(h+k*t-0.5          Η απόσταση μεταξύ βλήματος                                                             και κινούμενου στόχου

Οι οδηγίες 10-11: (ο μέγιστος χρόνος της κίνησης είναι 10 με 15)

        Αν ο χρόνος είναι μικρότερος του t1 το βλήμα κινείται σε τροχιά παραβολική. Τη         στιγμή t1 προσκρούει στο έδαφος και σταθεροποιείται χ= s (βεληνεκές)  

Οι οδηγίες 8-9 κινούν το αντικείμενο «παππούς» που κινείται δήθεν από ανάκρουση (για χαλάρωση) και επανέρχεται σιγά σιγά στη θέση του.

Dist: Η απόσταση βλήμα – κινούμενο αντικείμενο (τυφλοπόντικας)

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Στην ψηφίδα «μοντέλο» εισάγουμε το σύνολο των τύπων που θα δώσουν τη λύση στο πρόβλημα.

                         u_kaθ=υ₀συνω       υ₀ (ταχύτητα εξερχομένου βλήματος)

90-ω ω

                                                        u_οριζ=υ₀ημω

θεωρώ      κ=υ_κ==υ₀συνω

και            l=υ_οριζ=υ₀ημω

Η οριζόντια θέση χ του σημείου βρίσκεται από τον τύπο: χ=υ_οριζt=lt διότι στον άξονα χ΄χ η κίνηση είναι ομαλή χωρίς επιτάχυνση.

Η κατακόρυφη θέση ψ βρίσκεται από τον τύπο ψ=υ_κt-1/2 gt^2.

Παρατηρούμε ότι είναι συναρτήσεις του χρόνου με μεταβλητή t.

Μάλιστα η ψ είναι τριωνυμικής μορφής. Αναμένεται λοιπόν από τους μαθητές να προβλέψουν για τη γραφική παράσταση ότι θα είναι παραβολή.

Θεωρούμε g μεταβλητό, και υ_κ=κ άρα ο τύπος γράφεται:

ψ=κt-0.5gt² ή για τα μαθηματικά ψ=-0.5gt²+κt με τη γνωστή γραφική παράσταση.

Ψάχνουμε για τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης (τροχιάς) με τον άξονα χ΄χ (έδαφος)

Υπολογίζω τον χρόνο που το ψ γίνεται =0. Η διανυθείσα απόσταση στο χρονικό αυτό διάστημα είναι το βεληνεκές.

1.     ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΜΟΝΤΕΛΟ»

Στην ψηφίδα «μοντέλο» εισάγουμε τους παραπάνω τύπους όπως φαίνεται παραπάνω και επιλέγουμε «διερμηνεία»

Το «μοντέλο έχει «κατανοηθεί» από το λογισμικό.

2.               ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΕΛΕΓΧΟΣ»

Από την επιλογή «επιλογές» επιλέγω βήμα =0.1, μέγιστο και ελάχιστο χρόνο 10 και 0 αντίστοιχα.

Για μονάδα μέτρησης γωνιών επιλέγω ακτίνια ή μοίρες. (Εδώ επιλέξαμε τις μοίρες)

3.               ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ»

Επειδή στους τύπους δόθηκαν παράμετροι, υ_0, g, h, και α (αρχική ταχύτητα, επιτάχυνση της βαρύτητας, ύψος της κάνης,  και γωνία που σχηματίζει το όπλο με το έδαφος),το λογισμικό τις αναγνωρίζει και τις περνάει στο παράθυρο «ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ»

Από εδώ, μεταβάλλοντας τα στοιχεία αυτά, οι μαθητές θα πειραματισθούν, θα κάνουν λάθη, θα δουν τις επιπτώσεις των λαθών τους, θα σκεφθούν, θα διορθώσουν.

4.               ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΓΡΑΦΗΜΑ»

        Εδώ φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με οποιαδήποτε ανεξάρτητη μεταβλητή και οποιαδήποτε εξαρτημένη επιλέξει ο μαθητής. Ο μαθητής παίζοντας με τις μεταβλητές, καταλαβαίνει ότι με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες και γωνία βολής μπορεί να πετύχει το ίδιο βεληνεκές.

5.               ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ»

6.                       ΠΑΡΑΘΥΡΟ «ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ»

              Αναφέρονται 5 περιπτώσεις με διάφορους συνδυασμούς των παραμέτρων εκ των οποίων η 1^η περίπτωση το βλήμα πετυχαίνει το στόχο.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ

Α. ΤΟ ΒΛΗΜΑ

Με το 10 επιλέγουμε αντικείμενο (γεωμετρικά αντικείμενα» à «σημεία» àαριθμός σημείων 1, πάχος 3, να φαίνεται ή όχι η τροχιά κλπ. Το «τοποθετούμε» κάπου στην επιφάνεια παρουσίασης. Στο ίδιο παράθυρο, από το «τοποθέτηση» ορίζουμε ως μεταβλητές τα χ (οριζόντιος), ψ (κατακόρυφος).

Έτσι το «σημείο» αυτό θα κινείται με συντεταγμένες τα (χ, ψ).

Β. ΤΟ ΕΙΚΟΝΙΔΙΟ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ

Με το 2 όπως προηγουμένως, με το 10, επιλέγουμε «εικόνα» την οποία αναζητούμε από κάποιο αρχείο που την έχουμε αποθηκευμένη.

Την «τοποθετούμε» κάπου στην επιφάνεια παρουσίασης.

Γ. ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Με το 3 εισάγουμε διάνυσμα. Ομοίως όπως προηγουμένως επιλέγουμε «ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ» Χ ΤΟ s (βεληνεκές) και «ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΣ» το  σταθερό =0.

Έτσι εμφανίζεται κάθε φορά ένα διάνυσμα μήκους ίσου με το βεληνεκές.

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Η μοντελοποίηση μάλλον δίνεται έτοιμη στους μαθητές. Αν ωστόσο γνωρίζουν το χειρισμό του modellus μπορούμε να δώσουμε κάποιες από τις παραπάνω οδηγίες για να το φτιάξουν μόνοι τους  την 1^η ώρα της  υλοποίησης του σεναρίου.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Ονόματα μελών ομάδας:

1. ………………………………………………………………………………

2. ………………………………………………………………………………

3. ………………………………………………………………………………

Ένας παππούς κτηματίας, βλέποντας στην αυλή του τρύπες και κατεστραμμένο το γκαζόν, καταλαβαίνει ότι την αυλή του εποίκησαν τυφλοπόντικες.

Εξαγριωμένος αποφασίζει να ξαναπάρει το τουφέκι του.

Παίρνει λοιπόν το παμπάλαιο τουφέκι, τοποθετεί μια παλιά μπάλα για στόχο σε κάποια απόσταση και αρχίζει την προπόνηση.

Το τουφέκι είναι παλιό με μικρό βεληνεκές.

Τεχνικά στοιχεία: ταχύτητα εξόδου του βλήματος= 80 km/h.

Επειδή έχει πρόβλημα με τα πόδια του, πρέπει να στήσει «καρτέρι» στον τυφλοπόντικα.

Μπορείτε να βοηθήσετε τον παππού υποδεικνύοντάς του σε πόση απόσταση από την τρύπα πρέπει να σταθεί, ώστε να πετύχει τον τυφλοπόντικα των ώρα που θα εμφανίζεται στην έξοδο της τρύπας;

Παραδοχές:

1. Ο παππούς είναι πάντοτε καθιστός, η κάνη του όπλου όταν     πυροβολεί απέχει από το έδαφος περίπου 80 cm

2. Η γωνία υπό την οποία πυροβολεί είναι από περίπου 20^ο.

3. Το τουφέκι είναι παλιό με μικρό βεληνεκές.

    (Ταχύτητα εξόδου του βλήματος: u_o = μεταβλητή π.χ. 80 km/h)

Επιλύστε το παραπάνω πρόβλημα:

1. βρείτε την εξίσωση της οριζόντιας κίνησης του βλήματος.

    ……………………………………………………………………………………………………………………..

2. Βρείτε την εξίσωση της κατακόρυφης κίνησης του βλήματος.

…………………………………………………………………………………………………………………………

3. Από τις  εξισώσεις αυτές μπορείτε να προβλέψετε την τροχιά του βλήματος;

        ………………………………………………………………………………………………………………………

Βρείτε το χρόνο μεταξύ πυροβολισμού και της πρόσκρουσης του βλήματος στο έδαφος (Η κάνη βρίσκεται 80 cm περίπου από το έδαφος)

Ποια οριζόντια απόσταση θα έχει κάνει το βλήμα ; (βεληνεκές)

……………………………………………………………………………………………………………………………

Αλλάξτε στους τύπους που κατασκευάσατε  τις τιμές των υ₀ και α.

Θα βρεθεί άλλη λύση; Η διαδικασία επίλυσης αλλάζει; …………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα εργαζόμενοι με τα  υ₀ και α (παράμετροι) αντί των δοσμένων αριθμητικών τιμών;………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….

Β.  Ανοίξτε το modellus και το αρχείο «παππούς»ενεργοποιήστε το παράθυρο «αρχικές συνθήκες» και δώστε τιμές στις παραμέτρους υ₀ και α. Πιέστε το «βελάκι» του παραθύρου «έλεγχος» τι παρατηρείτε;

Επαναλάβετε το Β. με διαφορετικές τιμές των υ₀ και α, g, h, u1, c.

Είναι δυνατόν να έχουμε το ίδιο βεληνεκές με μεγαλύτερο g αλλά μεγαλύτερη υ₀;

Αιτιολογήστε την απάντηση διαισθητικά και αιτιολογήστε τη με θεωρία του τριωνύμου. ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..

Βρείτε το μέγιστο ύψος του βλήματος σε κάθε περίπτωση που αλλάζετε τιμές των υ₀ και α…………………………………………………………………………………….

Μπορείτε να την βρείτε χρησιμοποιώντας τη θεωρία του τριωνύμου;

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….