1. ΤΙΤΛΟΣ :
ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΠΕΜΠΕΙ SOS.
ΑΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΘΟΥΜΕ !!!
2. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ :
ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ:
ΜΕΝΕΞΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ
ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ:
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ:
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ-ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ
ΔΙΑΣΤΗΜΑ, ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ, ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ,
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Φ(Χ)=0 ΜΕ Φ συνεχής συνάρτηση.
3. ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ:
Η βασική ιδέα προήλθε από την διαπίστωση της αδυναμίας προσδιορισμού των ριζών εξίσωσης Φ(χ)=0 όταν η Φ δεν είναι πολυωνυμική αναλυόμενη σε πρωτοβάθμιους παράγοντες ή επιλύσιμη τριγωνομετρική.
Ένα μεγάλο πλήθος πραγματικών προβλημάτων (σχεδόν το σύνολό τους) καταλήγει σε εξισώσεις που δεν επιλύονται εύκολα με οποιοδήποτε από τους κλασσικούς τρόπους, ενώ αντίθετα κάθε εξίσωση αν δεν είναι αδύνατη, επιλύεται προσεγγιστικά.
Η προσεγγιστική επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης, μας βγάζει από την αδυναμία αυτή, δεδομένου ότι μία αρκετά μεγάλη προσέγγιση είναι αφ’ ενός εφικτή, αφ’ ετέρου σχετικά ακριβής και ικανοποιεί τις απαιτήσεις οποιουδήποτε υπαρκτού προβλήματος.
4. ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ
α. Καινοτομίες :.
Οι μαθητές , έχουν παραδοσιακά συνηθίσει να επιλύουν εξισώσεις (ή προβλήματα που καταλήγουν σε εξισώσεις) των οποίων η λύση είναι «στα μέτρα τους», δηλαδή είναι ρητή. Στην πιο ακραία περίπτωση «αποδέχονται» λύσεις άρρητους αριθμούς. Εξισώσεις όμως όπως χ2=2, ή παρόμοιες, x=eχ, χ=ημχ, lnx=x2 κλπ τις εξοβελίζουν, τις χαρακτηρίζουν αδύνατες και τις απορρίπτουν από τη λογική τους, αν και είναι αυτές που συναντάμε πιο συχνά στη φύση. Φυσικά το χειρότερο είναι ότι και ο εκπαιδευτικός τις αποφεύγει πέφτοντας και αυτός θύμα της ίδιας νοοτροπίας μέσα στα ασφυκτικά στενά χρονικά περιθώρια του αναλυτικού προγράμματος.
Με τη δραστηριότητα αυτή, γίνεται πιο ξεκάθαρο στους μαθητές ότι αυτού του είδους οι εξισώσεις όχι μόνο εμφανίζονται και μάλιστα συχνά σε υπαρκτά προβλήματα στην καθημερινή ζωή, αλλά και ότι η επίλυσή τους δεν είναι και τόσο απλησίαστη, βουνό ή εφιαλτική όπως μας εμφανίζονται.
Η διαδικασία που ακολουθείται είναι στα χνάρια της πρότασης του σχολικού βιβλίου. Ωστόσο αναδεικνύει πολύ ικανοποιητικά τη χρησιμότητα κάποιων (λίγων έστω) λειτουργιών του λογισμικού εργαλείου FP και την αναγκαιότητα της χρήσης του.
β. Προστιθέμενη αξία: Τόσο οι μαθητές αλλά τόσο και ο διδάσκων μπαίνουν σε μια διερευνητική διαδικασία που πολύ δύσκολο και απαιτεί κόπο και χρόνο, να γίνει με παραδοσιακό τρόπο.
Έτσι, οι μαθητές προσεγγίζουν «όσο θέλουν» την αριθμητική τιμή της ρίζας, και τελικά την υπολογίζουν με σχετική «ακρίβεια».
Μοντελοποιούν προβλήματα, και η εμπειρία που αποκτούν, τους βοηθάει στην αντιμετώπιση παρόμοιων καταστάσεων.
γ. Γνωστικά και διδακτικά προβλήματα: Οι μαθητές έχουν μάθει να αντιμετωπίζουν τις εξισώσεις μέσα από μηχανιστική ασκησιολογία, μακριά από πραγματικά προβλήματα τα πλείστα των οποίων καταλήγουν σε «περίεργες» εξισώσεις. Τέτοια προβλήματα υπάρχουν πολλά στα βιβλία όλων των τάξεων Γυμνασίου- Λυκείου.
Επίσης αντιμετωπίζουν πρόβλημα στην κατανόηση της έννοιας του διαστήματος, της ρίζας συνάρτησης, του νοήματος της τετμημένης του σημείου που η γραφική παράσταση τέμνει τον χ΄χ, του νοήματος των συντεταγμένων του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων.
δ. Θεωρητικό πλαίσιο: Οι μαθητές πειραματίζονται, (βάζοντας διαφορετικό βήμα προσέγγισης κάθε φορά) ερευνούν ( τι γίνεται αν χωρίσουμε το διάστημα σε περισσότερα υποδιαστήματα) καταλήγουν σε ίδια συμπεράσματα και γενικεύουν. Διερωτώνται (αν υπάρχουν συναρτήσεις που δεν τέμνουν τον χ΄χ), αναστοχάζονται.
Οικοδομούν λοιπόν νοήματα και έννοιες και αυτό γίνεται μέσα από τη συνεργατική μάθηση (οι ομάδες μέσα από συζήτηση βλέπουν ότι καταλήγουν στα ίδια συμπεράσματα αν και χρησιμοποίησαν διαφορετικές προσεγγιστικές πορείες)
5. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ
Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Β΄Λυκείου (για πολυωνυμικές συναρτήσεις). Κυρίως όμως για μαθητές της Γ΄Λυκείου στο Θεώρημα του Bolzano (για συνεχείς συναρτήσεις).
α. Απαιτούμενος Χρόνος υλοποίησης: 2-3 διδακτικές ώρες.
β. Χώρος υλοποίησης: Δύο ή τρεις στο Εργαστήριο υπολογιστών.
γ. Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών:
Α. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν στοιχειώδεις γνώσεις του FP.
B. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν διδαχθεί στον πίνακα, την έννοια του Πεδίου Ορισμού, του συνόλου τιμών, του διαστήματος, το Θεώρημα Bolzano για πολυώνυμα (Β΄τάξη) ή γενικώς για συνεχείς συναρτήσεις, την γεωμετρική έννοια της ρίζας συνάρτησης στον άξονα (f(x)=0). Να έχουν κατανοήσει τη διαφορά μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης, όπως και μεταξύ ρίζας εξίσωσης και ρίζας συνάρτησης. Επίσης ότι:
1. Η τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f, g έχει τετμημένη χ0 τη λύση της εξίσωσης f(x)=g(x) (ισοδύναμα της f(χ) – g(χ)=0) που προκύπτει ως λύση του συστήματος ψ=f(χ), ψ=g(χ).
2. Αν η γραφική παράσταση y=f(χ) τέμνει τον άξονα χ΄χ σε σημείο Α, η τετμημένη ΧΑ του Α είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
3. Να έχουν κατανοήσει ότι αν οι γραφικές παραστάσεις των y=f(χ) και y=g(χ) τέμνονται σε σημείο Β, τότε η τετμημένη Χβ του Β είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=g(x)
(ισοδύναμα της f(x)-g(x)= 0).
4. Αν μία συνεχής συνάρτηση f ορίζεται σε διάστημα [α, β] και f(α), f(β) είναι ετερόσημοι, τότε ανάμεσα στα α, β υπάρχει μία ρίζα (ή περισσότερες) της εξίσωσης f(x)=0.
δ. Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.
1. Εργαστήριο Η/Υ με 1 Η/Υ ανά δύο ή τρεις μαθητές, και εγκατεστημένο το FP.
2. Φύλλο εργασίας για το μαθητή.
3. Εγχειρίδιο χρήστη του FP με τις στοιχειώδεις λειτουργίες του λογισμικού.
ε. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης:
Οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων (η σύνθεση των ομάδων ελέγχεται και δεν είναι τυχαία), έχουν ελαφρώς διαφορετικό φύλλο εργασίας. ( Εργάζονται λύνοντας την εξίσωση φ(χ) = f(x)-g(x)=0 και βρίσκοντας προσεγγιστικά τα σημεία τομής της Cφ (γραφική παράσταση της φ) με τον χ΄χ. Η μία ομάδα χωρίζει το αρχικό διάστημα σε 2 υποδιαστήματα, η άλλη σε 3 ή περισσότερα.
Ρόλοι (εναλλάσσονται): Ο α΄= χειριστής του Η/Υ/ ο β΄= κρατάει σημειώσεις στο φύλλο εργασίας, ενώ ο τρίτος αν υπάρχει, συντονίζει, βοηθάει από το εγχειρίδιο του FP, ώστε να μη καθυστερούν λόγω άγνοιας του λογισμικού.
Ο διδάσκων: επιβλέπει, παροτρύνει εμψυχώνει, και καθοδηγεί συμβουλευτικά όταν και όπου χρειάζεται τις ομάδες.
στ. Στόχοι της δραστηριότητας.
1. Παιδαγωγικοί: Ανάπτυξη της συνεργασίας για επίτευξη κοινού στόχου.
Ανακάλυψη της λύσης μέσω πειραματισμού και εικασίας.
2. Μαθησιακοί: Οι μαθητές θα επιδράσουν και θα επηρεασθούν από τη λειτουργία του λογισμικού, και αναμένεται να κατανοήσουν καλύτερα τις έννοιες που αναφέρονται στις προαπαιτούμενες γνώσεις, όπως: Π.Ο., διάστημα κλπ, να πάρουν γεύση του κιβωτισμού διαστήματος χωρίς ωστόσο να γίνει ιδιαίτερη αναφορά στον όρο.
Να βρίσκουν διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης της λύσης.
3. Διδακτικοί: Να διερευνήσουν τη λύση της εξίσωσης μέσα από το γράφημα,
Να εμπλακούν σε διαδικασίες διερεύνησης, και προσέγγισης της λύσης εξισώσεων με χρήση του Θ. Bolzano.
Να κατανοήσει ότι : Αν η ρίζα της f(x) είναι ρητός αριθμός, σε κάποιο βήμα θα υπολογισθεί ακριβώς, ενώ αν είναι άρρητος, ναι μεν δεν θα υπολογισθεί ακριβώς, αλλά η προσέγγιση θα είναι τέτοια, που να θεωρείται «ακριβής».
Στο σημείο αυτό μπορεί να γίνει συζήτηση για το γεγονός ότι ο Η/Υ προσεγγίζει με δεκαδικά ψηφία την άρρητη ρίζα και επομένως είναι αδύνατη η επακριβής εύρεσή της (πχ √3 ) ενώ δεν συμβαίνει το ίδιο αν η ρίζα είναι ρητός.
6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Σε κάποια χώρα ποταμός (Π) ρέει γύρο από απόκρημνο βουνό, η περιοχή του οποίου έχει χαρακτηρισθεί ως Εθνικός Δρυμός όπως φαίνεται στο σχέδιο. Υπάρχει τοπικός ευθύς δρόμος που συνδέει δύο πόλεις Π1 και Π2. Από αεροφωτογράφηση βρέθηκε ότι το κομμάτι του ποταμού πλησίον του δρόμου διέρχεται από τέσσερα σημεία( Δένδρα, χαρακτηριστικού σχήματος βράχους), Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν, που ως προς κάποιο σύστημα συνεταγμένων που σχεδιάστηκε με τη βοήθεια της αεροφωτογραφίας, έχουν συντεταγμένες: Η(-4, 1) Θ(-2 , 1) Ι(-1.5, 1.3) Κ(-1, 1.2) Λ(0, 1.8), Μ(0.5, 2.8) Ν(2, 8.1) Ρ(2.5, 13.3), με άξονα χ΄χ τον τοπικό δρόμο και ψ΄ψ κάθετη σ’ αυτόν ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα.
Θέλουμε να κατασκευάσουμε σιδηροδρομική γραμμή ΑΒ, οπωσδήποτε σε ευθεία, που να τέμνει πλαγίως τον τοπικό δρόμο.
Η σιδηροδρομική γραμμή για λόγους προστασίας του περιβάλλοντος, δεν πρέπει να είναι επιφανειακή.
Επομένως θα πρέπει να διανοιχθεί τούνελ μήκους ΑΒ.
Ζητούμε τα σημεία Α και Β (συντεταγμένες) καθώς και το μήκος του τούνελ για να προϋπολογίσουμε το κόστος κατασκευής του. (Η μονάδα μήκους είναι 1 χιλιόμετρο).
Προσεγγιστική εύρεση της συνάρτησης που περιγράφει την διαδρομή του ποταμού:
Κατ’ αρχήν καταγράφουμε τις συντεταγμένες των σημείων Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν και Ρ σε πίνακα.
Από την επιλογή «αποστολή» του παράθυρου «πίνακας» κάνουμε «αποστολή σε γράφημα». Το αποτέλεσμα βλέπουμε κατωτέρω:
.
Από τη μορφή της αεροφωτογραφίας της διαδρομής του ποταμού και της θέσης των σημείων φαίνεται ο τύπος της συνάρτησης να είναι της μορφής: ψ = ex. Το συμπέρασμα αυτό είναι μία εικασία που αναμένεται να προκύψει μέσα από συζήτηση και αναστοχασμό.
Από την εργαλειοθήκη (κουμπί 4) εισάγουμε ψ=eχ και εμφανίζεται η γραφική της παράσταση, η οποία όμως δεν μάλλον δεν προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τη διαδρομή του ποταμού.
Προσαρμόζουμε τη γραφική παράσταση της ψ=ex στα δεδομένα σημεία, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν και Ρ.
Με επιλεγμένη τη γραφική παράσταση, χρησιμοποιούμε το κουμπί 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Και επιλέγουμε:
Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να «σύρουμε» ολόκληρη τη γραφική παράσταση παραλλήλως προς τον άξονα ψ΄ψ, ώστε να προσεγγίσει
καλά» τα δοθέντα σημεία (πειραματισμός – διερεύνηση).
Από το παράθυρο γράφημα, επιλέγω «επιλογές γραφήματος» και αμέσως «εμφάνιση μετασχηματισμών» Στη γραμμή εργαλείων εμφανίζεται ο τύπος της «νέας» συνάρτησης μετά τη παράλληλη μεταφορά της γραφικής παράστασης της y=ex
Η γραφική παράσταση στη νέα θέση φαίνεται να προσεγγίζει «πολύ καλά» τη γραφική παράσταση της άγνωστης συνάρτησης. Ο τύπος της συνάρτησης αυτής είναι:
Σημείωση: Μπορεί κάποιοι μαθητές να βρούν F(χ)=eχ + 1 ή F(χ)=eχ + 0.93 ή κάτι τέτοιο.
Τότε εξηγούμε την αδυναμία όχι των μαθηματικών ή των Η/Υ αλλά της «οπτικής» προσέγγισης που χρησιμοποιήσαμε. Βεβαίως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προσεγγιστικό τύπο F(χ)=ex + 1
Με ανάλογο τρόπο (πάλι με φωτογράφηση) υπολογίσθηκε η εξίσωση της ευθείας της υπό κατασκευή σιδηροτροχιάς, με τους παραπάνω άξονες, που είναι:
(Η εύρεση του τύπου αυτού σαφώς γίνεται με παρόμοιο τρόπο και δεν κρίνεται σκόπιμο να επαναλάβουμε τη μέθοδο. Μπορούμε λοιπόν να δώσουμε έτοιμο τον τύπο αυτό στους μαθητές προκειμένου να εστιάσουμε στην τομή των δύο γραφικών παραστάσεων.
Με παραδοσιακό τρόπο λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).
Οδηγούμαστε στην εξίσωση:
ex + 1,03 = 3χ +1,53 ή στην :
ex - 3χ -0.5 = 0
Είναι φανερό ότι η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης μόνο ενθουσιασμό δεν προκαλεί.
Γι΄ αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση h(χ)= ex – 3χ – 0.5
Την εισάγουμε στο FP:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Από την «εργαλειοθήκη του παράθυρου «γράφημα» ζητάμε από τους μαθητές να εισάγουν την συνάρτηση Φ. Πιέζοντας το κουμπί 4 γράφουν ψ=ex – 3x -0.5. Με «enter» εμφανίζεται η γραφική παράσταση της h που φαίνεται να τέμνει τον χ΄χ σε δύο σημεία. Το ένα Σ με τετμημένη μεταξύ 0 και 1 ενώ το άλλο Τ με τετμημένη μεταξύ των 1 και 2.
Ζητείται από τους μαθητές να βρουν τις ακριβείς τετμημένες των σημείων αυτών.
Α. για το ΧΣ
Προς τούτο, μέσα από φύλλο εργασίας θα τους περιγράψουμε τα βήματα αν δεν είναι εξοικειωμένοι με το fp.
Από την επιλογή «γράφημα» του παραθύρου «γράφημα» επιλέγουν «δείγμα από καμπύλη» και από εκεί «σύνολο σημείων». Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται, οι μαθητές επιλέγουν για άκρα δύο τυχαίες τιμές χ1, χ2 του χ μεταξύ των οποίων όμως να είναι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της h με τον χ΄χ, δηλαδή η τετμημένη του σημείου αυτού να είναι μία ρίζα της εξίσωσης (αρχική τιμή χ1 και τελική χ2). Εδώ το χΣ είναι μεταξύ 0 και 1.
Ζητούν εισαγωγή τριών τμημάτων και πιέζουν οκ.
(χωρίζουν το [0, 1] σε τρία υποδιαστήματα. Γίνεται όμως να χωρισθεί σε δύο ή και περισσότερα).
Στο σύστημα αξόνων εμφανίζονται 4 σημεία.
Αμέσως μετά επιλέγουν από το παράθυρο «γράφημα»την επιλογή «αποστολή» και από εκεί «σημεία σε πίνακα». Στο παράθυρο πίνακας εμφανίζονται σε στήλες οι συντεταγμένες των παραπάνω σημείων.
Θα παρατηρήσουν ότι υπάρχουν δύο γειτονικές ετερόσημες τιμές του ψ. Αφού η h είναι συνεχής, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, μεταξύ των αντιστοίχων τιμών 0 και 0.33 του χ υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 με h(ξ1)=0.
Στη στήλη ψ θα γράψουν τον τύπο της συνάρτησης ψ=ex – 3χ – 0.5.
Θα πρέπει να επιλέξουν τις δύο αυτές τιμές του χ και από την επιλογή «πίνακας» του παράθυρου «πίνακας» το «ενδιάμεσο γέμισμα». Στο εμφανιζόμενο παράθυρο διαλόγου ως τιμή αύξησης επιλέγεται νέα προσέγγιση 0,01 και οκ. Ο πίνακας γεμίζει με νέες τιμές του χ και αντίστοιχες του ψ. Εάν για κάποιο χ=ξ2 βρεθεί ψ=0, τότε το ξ2 είναι η ζητούμενη ρίζα. Αν όχι, επαναλαμβάνεται το «γέμισμα» με αύξηση 0,001 κοκ.
Τελικά θα βρουν για ΧΣ=0.27 km ψ=0
Β. Ομοίως ενεργούν για το ΧΤ και βρίσκουν ΧΤ=1.75 km
Από τον τύπο της ευθείας ψ = 3χ + 1.5 με αντικατάσταση και πράξεις με calculator από μνήμης ή όπως αλλιώς θέλουν, οι μαθητές θα βρουν:
ΨΣ = 3*0.27+ 1.5 = 0.81+1.5= 2,31 και
ΨΤ = 3*1.75 + 1.5=5.25 + 1.5 = 6.75
Άρα ψΣ =2.31 και ψΤ =6.75
Από αυτό το σημείο και μετά με χρήση calculator ή της αριθμομηχανής του fp θα προχωρήσουν σε υπολογισμούς :
ΑΒ2 = (ΧΤ – ΧΣ)2 + (ΨΤ – ΨΣ)2 = (1.75-0.27)2 + (6.75 – 2.31)2 =
1.482 + 4.442 = 2.1904+19.7136=21.904. Αρα ΑΒ2 = 21.904. Τότε
ΑΒ= 4.68 km
Η υλοποίηση του σεναρίου στην τάξη μπορεί να γίνει με φύλλο εργασίας. Μάλιστα μπορεί να δοθεί άλλο φύλο στις τέσσερις ομάδες και άλλο στις άλλες τέσσερις, ώστε να προσεγγίσουν τη λύση από διαφορετικές οπτικές. Στη μία τετράδα ομάδων να δοθεί : ως f(x)=ex – 3x -0.5 και να ζητηθεί η προσέγγιση να γίνει με 3 υποδιαστήματα ενώ σε άλλη ομάδα να ζητηθεί να δώσει 2 ή 4 ή … διαστήματα. Θα ανακαλύψουν ότι «τελικά» θα βρουν τις ίδιες λύσεις.
ΕΠΕΚΤΑΣΗ
Η παραπάνω προσεγγιστική μέθοδος εφαρμόζεται σε πλήθος περιπτώσεων.
Π.χ. χ2 = 2 (ή χ3=5) για την εύρεση της τετραγωνικής ή της οποιασδήποτε τάξης ρίζας, , χ = ημχ, χ3 = 5 κλπ.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1
Ονόματα μελών ομάδας:
1. ………………………………………………………………………………
2. ………………………………………………………………………………
3. ………………………………………………………………………………
ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Σε κάποια χώρα, ποταμός (Π) ρέει γύρο από απόκρημνο βουνό, η περιοχή του οποίου έχει χαρακτηρισθεί ως Εθνικός Δρυμός όπως φαίνεται στο σχέδιο. Υπάρχει τοπικός ευθύς δρόμος που συνδέει δύο πόλεις Π1 και Π2. Από αεροφωτογράφηση βρέθηκε ότι το κομμάτι του ποταμού πλησίον του δρόμου διέρχεται από επτά σημεία (Δένδρα, χαρακτηριστικού σχήματος βράχους), Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν, που ως προς κάποιο σύστημα συνεταγμένων που σχεδιάστηκε με τη βοήθεια της αεροφωτογραφίας, έχουν συντεταγμένες: Η(-4, 1) θ(-2 , 1) Ι(-1.5, 1.3) Κ(-1, 1.2) Λ(0, 1.8), Μ(0.5, 2.8) Ν(2, 8.1) Ρ(2.5, 13.3), (άξονας χ΄χ ο τοπικός δρόμος και ψ΄ψ κάθετη σ’ αυτόν ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα.
Θέλουμε να κατασκευάσουμε σιδηροδρομική γραμμή, ΑΒ οπωσδήποτε σε ευθεία, που τέμνει πλαγίως τον τοπικό δρόμο.
Η σιδηροδρομική γραμμή για λόγους προστασίας του περιβάλλοντος, δεν πρέπει να είναι επιφανειακή.
Επομένως θα πρέπει να διανοιχθεί τούνελ μήκους ΑΒ.
Ζητούμε το μήκος του τούνελ και τα σημεία Α, Β, για να προϋπολογίσουμε το κόστος κατασκευής του. (Η μονάδα μήκους είναι 1 χιλιόμετρο).
Παρατηρείστε την αεροφωτογραφία στην οποία έχουν σχεδιαστεί άξονες χ΄χ και ψ΄ψ.
Θεωρείστε τα σημεία:
Η(-4, 1), Θ(-2 , 1), Ι(-1.5, 1.3), Κ(-1, 1.2), Λ(0, 1.8), Μ(0.5, 2.8)
Ν(2, 8.1), Ρ(2.5, 13.3) και τοποθετείστε τα στην αεροφωτογραφία (κατ’ εκτίμηση).
Τοποθετείστε τα σημεία στο παράθυρο πίνακας.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Από την επιλογή «αποστολή» του παράθυρου «πίνακας» κάνετε «αποστολή σε γράφημα». Τι παρατηρείτε;…………………………………………………………….…………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….……………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………….
Μπορείτε να υποθέσετε - φανταστείτε τη μορφή (τύπο) της συνάρτησης που έχει γραφική παράσταση την κοίτη του ποταμού; Γράψτε την ……………………………………………………………………………………………………………………………
Από την εργαλειοθήκη (κουμπί 4) εισάγετε τον τύπο της ανωτέρω συνάρτησης (όπως την φαντασθήκατε).
Η γραφική παράσταση που εμφανίζεται προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τη διαδρομή του ποταμού; (ναι – όχι) …………………………………….
Υπάρχει δυνατότητα μετατόπισης της γραφικής παράστασης ώστε να περάσει «σχεδόν» από όλα τα σημεία; Τι προτείνετε ;
……………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………..
Δοκιμάστε το «κουμπί» (9) και σύρετε τη γραφική παράσταση δοκιμάζοντας τις δύο δυνατότητες που παρέχονται (οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση).
Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………..
Μπορείτε τελικά να τοποθετήσετε τη γραφική παράσταση με τον «καλύτερο» τρόπο στα σημεία Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ και Ν;
(Από το παράθυρο γράφημα, επιλέξτε «επιλογές γραφήματος» και αμέσως «εμφάνιση μετασχηματισμών» Στη γραμμή εργαλείων θα εμφανισθεί ο τύπος της «νέας» συνάρτησης μετά τη παράλληλη μεταφορά της γρ. παράστασης της y=ex ).
Η γραφική παράσταση στη νέα θέση φαίνεται να προσεγγίζει «πολύ καλά» τη γραφική παράσταση της άγνωστης συνάρτησης.
Ποιος είναι ο τύπος της «νέας» συνάρτησης αυτής;
…………………………………………………… ……………………………………………………………………
Αλλάξτε τα σημεία και επαναλάβατε την ανωτέρω εργασία
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ονόματα μελών ομάδας:
4. ………………………………………………………………………………
5. ………………………………………………………………………………
6. ………………………………………………………………………………
Α. Μπορείτε να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ=ex + 1,03 και ψ = 3χ + 1.53; Λύσετε την εξίσωση.
ΛΥΣΗ:……………………………………………………………………………………………….………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………
Αν δυσκολεύεσθε,
Ανοίξτε το FP.
Να λυθεί η εξίσωση: ex = 3x +0.5 (1)
Γράψτε τη συνάρτηση της οποίας ρίζες να είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1)
f(x)= ……………………………………………………………………
Από τη γραμμή εργαλείων, χρησιμοποιήστε το κουμπί (4)
Στη γραμμή εισαγωγής τύπων γράψτε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης και πιέστε enter . Θα εμφανισθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης.
-Μπορείτε από τη μορφή της να βρείτε αν έχει ρίζες πόσες είναι και να τις «δείξετε» με το «ποντίκι»;
Συμπληρώστε: « Η εξίσωση έχει ..…. ρίζες.»
Γράψτε τα διαστήματα μέσα στα οποία είναι κάθε μία από τις ρίζες ………………………………….
Επιλέξτε τη μικρότερη (α΄ομάδα) ή τη μεγαλύτερη (β΄ομάδα) και διαλέξτε ένα διάστημα εντός του οποίου βρίσκεται η ρίζα αυτή. Δ=[………..]
Από την επιλογή «γράφημα» του παράθυρου «γράφημα», επιλέξτε «δείγμα από καμπύλη» και από εκεί «σύνολο σημείων».
Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται, επιλέξτε για άκρα δύο τυχαίες τιμές α1 , α2 του χ μεταξύ των οποίων όμως να είναι το σημείο που η Ch τέμνει τον χ΄χ, δηλαδή η τετμημένη του σημείου
αυτού να είναι μία ρίζα της εξίσωσης(αρχική τιμή =α1 και τελική α2) Μπορείτε να πάρετε από 0 μέχρι 1 για τη μικρότερη ρίζα και από 1 μέχρι 2 για τη μεγαλύτερη.
Ζητείστε εισαγωγή τριών τμημάτων και πιέστε οκ.
(Η β΄ ομάδα να χωρίσει το [1,2 ] σε τρία υποδιαστήματα. Αν θέλουμε μπορούμε σε δύο ή περισσότερα.)
Στη γραφική παράσταση (γράφημα) εμφανίζονται 4 σημεία.
Αμέσως μετά επιλέξτε από το παράθυρο «γράφημα» την επιλογή «αποστολή» και από εκεί «σημεία σε πίνακα». Στο παράθυρο «πίνακας» εμφανίζονται σε στήλες οι συντεταγμένες των ανωτέρω σημείων
Τι παρατηρείτε;
Μπορείτε να εντοπίσετε δύο τιμές του χ ώστε οι αντίστοιχες τιμές του ψ να είναι ετερώσημες ; ………………………………………………………………………………………………………………
Ποιες είναι οι τιμές αυτές;…… ……………….……….
Εφαρμόζεται και γιατί το θεώρημα Bolzano; …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….
Είναι μεταξύ αυτών των τιμών η ρίζα που ψάχνουμε; …………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..
Είναι το συμπέρασμα από τα φαινόμενα στον Η/Υ αναμενόμενα σύμφωνα με τη θεωρεία;
…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………..
Συζητείστε μεταξύ σας και αιτιολογήστε τα συμπεράσματά σας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου